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2019年天津市高考理科数学真题(有解析)

2019-06-11 作者:wykjedu888

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题。
参考公式:
?如果事件 、 互斥,那么 .
?如果事件 、 相互独立,那么 .
?圆柱的体积公式 ,其中 表示圆柱的底面面积, 表示圆柱的高.
?棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面面积, 表示棱锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 ,  ,  ,则
A. {2}    B. {2,3}    C. {-1,2,3}    D. {1,2,3,4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求 ,再求 。
【详解】因为 ,
所以 .
故选D。
【点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算.

2.设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为
A. 2    B. 3    C. 5    D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域,用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距,
故目标函数在点 处取得最大值。
由 ,得 ,
所以 。
故选C。
 
【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.

3.设 ,则“ ”是“ ”的(   )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出两不等式的解集,根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式,可知  推不出 ;
由 能推出 ,
故“ ”是“ ”的必要不充分条件,
故选B。
【点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系来判断条件。

4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出 的值为
 
A. 5    B. 8    C. 24    D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图,逐步写出运算结果。
【详解】   ,
结束循环,故输出 。
故选B。
【点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体.

5.已知抛物线 的焦点为 ,准线为 .若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B,且 ( 为原点),则双曲线的离心率为
A.      B.      C. 2    D.  
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把 用 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】抛物线 的准线 的方程为 ,
双曲线的渐近线方程为 ,
则有
∴ , , ,
∴ 。
故选D。
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出AB的长度。

6.已知 , , ,则 的大小关系为(   )
A.      B.  
C.      D.  
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 等中间值区分各个数值的大小。
【详解】 ,
 ,
 ,故 ,
所以 。
故选A。
【点睛】本题考查大小比较问题,关键选择中间量和函数的单调性进行比较。

7.已知函数 是奇函数,将 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ,且 ,则 (   )
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】因为 为奇函数,∴  ;

 , ,又
∴ ,
故选C。
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数 。

8.已知 ,设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立,则 的取值范围为(  )
A.      B.      C.      D.  
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断 时, 在 上恒成立;若 在 上恒成立,转化为 在 上恒成立。
【详解】∵ ,即 ,
(1)当 时, ,
当 时, ,
故当 时, 在 上恒成立;
若   上恒成立,即 在 上恒成立,
令 ,则 ,
当 函数单增,当 函数单减,
故 ,所以 。当 时, 在 上恒成立;
综上可知, 的取值范围是 ,
故选C。
【点睛】本题考查分段函数的最值问题,关键利用求导的方法研究函数的单调性,进行综合分析。

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共6小题.
9. 是虚数单位,则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先化简复数,再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】 。
【点睛】本题考查了复数模的运算,是基础题.

10. 是展开式中的常数项为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式得出通项,根据方程思想得出 的值,再求出其常数项。
【详解】 ,
由 ,得 ,
所以的常数项为 .
【点睛】本题考查二项式定理的应用,牢记常数项是由指数幂为0求得的。

11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为__________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点,确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】由题意四棱锥的底面是边长为 的正方形,侧棱长均为 ,借助勾股定理,可知四棱锥的高为 ,.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,故圆柱的高为 ,一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,圆柱的底面半径为 ,故圆柱的体积为 。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。

12.设 ,直线 和圆 ( 为参数)相切,则 的值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标,再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程,解之解得。
【详解】圆 化为普通方程为 ,
圆心坐标为 ,圆的半径为 ,
由直线与圆相切,则有 ,解得 。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法,但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

13.设 ,则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
 分析】
把分子展开化为 ,再利用基本不等式求最值。
【详解】
 
 ,
当且仅当 ,即 时成立,
故所求的最小值为 。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。

14. 在四边形 中, ,  ,  ,  ,点 在线段 的延长线上,且 ,则 __________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。
【详解】建立如图所示的直角坐标系,则 , 。
因为 ∥ , ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以直线 的斜率为 ,其方程为 ,
直线 的斜率为 ,其方程为 。
由 得 , ,
所以 。
所以  
 
【点睛】平面向量问题有两大类解法:基向量法和坐标法,在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。

三.解答题.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 在 中,内角 所对的边分别为 .已知 , .
(Ⅰ)求  值;
(Ⅱ)求 的值.
【答案】(Ⅰ)  ;
(Ⅱ)  .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系,然后利用余弦定理可得 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值,然后利用两角和的正弦公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)在 中,由正弦定理 得 ,
又由 ,得 ,即 .
又因为 ,得到 , .
由余弦定理可得  .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,
从而 , .
故 .
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

16.设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量 的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件 发生的概率.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布,结合二项分布的公式求得概率可得分布列,然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可;
(Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为 ,
故 ,从面 .
所以,随机变量 的分布列为:
 
0    1    2    3
 
 
 
 
 



随机变量 的数学期望 .
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为 ,则 .
且 .
由题意知事件 与 互斥,
且事件 与 ,事件 与 均相互独立,
从而由(Ⅰ)知:
 
 
 
 .
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.

17.如图, 平面 , , .
 
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角 的余弦值为 ,求线段 的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
【分析】
首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行;
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程,解方程可得CF的长度.
【详解】依题意,可以建立以A为原点,分别以 的方向为x轴,y轴,z轴正方向的空间直角坐标系(如图),
 
可得 .
设 ,则 .
(Ⅰ)依题意, 是平面ADE的法向量,
又 ,可得 ,
又因为直线 平面 ,所以 平面 .
 (Ⅱ)依题意, ,
设 为平面BDE的法向量,
则 ,即 ,
不妨令z=1,可得 ,
因此有 .
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面BDF的法向量,则 ,即 .
不妨令y=1,可得 .
由题意,有 ,解得 .
经检验,符合题意?
所以,线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.

18.设椭圆 的左焦点为 ,上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4,离心率为 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点 在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点 为直线 与 轴的交点,点 在 轴的负半轴上.若 ( 为原点),且 ,求直线 的斜率.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 或 .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程,解方程可得椭圆方程;
(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标,从而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式,最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程,解方程可得直线的斜率.
【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 ,依题意, ,又 ,可得 ,b=2,c=1.
所以,椭圆方程为 .
(Ⅱ)由题意,设 .设直线 的斜率为 ,
又 ,则直线 的方程为 ,与椭圆方程联立 ,
整理得 ,可得 ,
代入 得 ,
进而直线 的斜率 ,
在 中,令 ,得 .
由题意得 ,所以直线 的斜率为 .
由 ,得 ,
化简得 ,从而 .
所以,直线 的斜率为 或 .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质?直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.

19.设 是等差数列, 是等比数列.已知 .
(Ⅰ)求 和 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 满足 其中 .
(i)求数列 的通项公式;
(ii)求 .
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)(i) (ii)
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可;
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式,结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形,结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ,等比数列 的公比为 .
依题意得 ,解得 ,
故 , .
所以, 的通项公式为 , 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以,数列 的通项公式为 .
(ii)  
 
 
 .
【点睛】本题主要考查等差数列?等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.

20.设函数 为 的导函数.
(Ⅰ)求 的单调区间;
(Ⅱ)当 时,证明 ;
(Ⅲ)设 为函数 在区间 内的零点,其中 ,证明 .
【答案】(Ⅰ)单调递增区间为 的单调递减区间为 .(Ⅱ)见证明;(Ⅲ)见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式,然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间;
(Ⅱ)构造函数 ,结合(Ⅰ) 结果和导函数的符号求解函数 的最小值即可证得题中的结论;
(Ⅲ)令 ,结合(Ⅰ),(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.
【详解】(Ⅰ)由已知,有 .
当 时,有 ,得 ,则 单调递减;
当 时,有 ,得 ,则 单调递增.
所以, 的单调递增区间为 ,
 的单调递减区间为 .
(Ⅱ)记 .依题意及(Ⅰ)有: ,
从而 .当 时, ,故
 .
因此, 在区间 上单调递减,进而 .
所以,当 时, .
(Ⅲ)依题意, ,即 .
记 ,则 .
且  .
由 及(Ⅰ)得 .
由(Ⅱ)知,当 时, ,所以 在 上为减函数,
因此 .
又由(Ⅱ)知 ,故:
  .
所以 .
【点睛】本题主要考查导数的运算?不等式证明?运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力?综合分析问题和解决问题的能力.


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