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江苏省苏州市中考数学试卷一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的.请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上.1.(3 分)5 的相反数是(  )A.15 B. -15 C.5 D.﹣52.(3 分)有一组数据:2,2,4,5,7,这组数据的中位数为(  )A.2 B.4 C.5 D.73.(3 分)苏州是全国重点旅游城市,2018 年实现旅游总收入约为 26000000 万元,数据26000000 用科学记数法可表示为(  )A.0.26×108 B.2.6×108 C.26×106 D.2.6×1074.(3 分)如图,已知直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别交于点 A,B.若∠1=54°,则∠2 等于(  )A.126° B.134° C.136° D.144°5.(3 分)如图,AB 为⊙O 的切线,切点为 A 连接 AO、BO,BO 与⊙O 交于点 C,延长 BO与⊙O 交于点 D,连接 AD.若∠ABO=36°,则∠ADC 的度数为(  )A.54° B.36° C.32° D.27°6.(3 分)小明用 15 元买售价相同的软面笔记本,小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本,设软面笔记本每本售价为 x 元,根据题意可列出的方程为(  )A.15𝑥 =24𝑥 + 3 B.15𝑥 =24𝑥 ― 3 C.15𝑥 + 3 =24𝑥 D.15𝑥 ― 3 =24𝑥7.(3 分)若一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0)的图象经过点 A(0,﹣1),B(1,1),则不等式 kx+b>1 的解为(  )A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>18.(3 分)如图,小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度,将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3m 的地面上,若测角仪的高度是 1.5m.测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30°.则教学楼的高度是(  )A.55.5m B.54m C.19.5m D.18m9.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AC=4,BD=16,将△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A'B'O'.当点 A'与点 C 重合时,点 A 与点 B'之间的距离为(  )A.6 B.8 C.10 D.1210.(3 分)如图,在△ABC 中,点 D 为 BC 边上的一点,且 AD=AB=2,AD⊥AB.过点 D作 DE⊥AD,DE 交 AC 于点 E.若 DE=1,则△ABC 的面积为(  )A.4 2 B.4 C.2 5 D.8二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.把答案直接填在答题卡相应位置上.11.(3 分)计算:a2•a3=   .12.(3 分)因式分解:x2﹣xy=   .13.(3 分)若 x - 6在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为   .14.(3 分)若 a+2b=8,3a+4b=18,则 a+b 的值为   .15.(3 分)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”.图①是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”,图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形.该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为   cm(结果保留根号).16.(3 分)如图,将一个棱长为 3 的正方体的表面涂上红色,再把它分割成棱长为 1 的小正方体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为   .17.(3 分)如图,扇形 OAB 中,∠AOB=90°.P 为弧 AB 上的一点,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,PC 与 AB 交于点 D.若 PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为   .18.(3 分)如图,一块含有 45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为 8cm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2cm,则图中阴影部分的面积为   cm2(结果保留根号).三、解答题;本大题共 10 小题,共 76 分.把解答过程写答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明,作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签宇笔.19.(5 分)计算:( 3)2+|﹣2|﹣(π﹣2)020.(5 分)解不等式组:{x + 1<52(𝑥 + 4)>3𝑥 + 721.(6 分)先化简,再求值:𝑥 ― 3𝑥2 + 6𝑥 + 9÷ (1 -6𝑥 + 3),其中,x =2 ― 3.22.(6 分)在一个不透明的盒子中装有 4 张卡片,4 张卡片的正面分别标有数字 1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是   ;(2)先从盒了中任意抽取一张卡片,再从余下的 3 张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的 2 张卡片标有数字之和大于 4 的概率.(请用画树状图或列表等方法求解).23.(8 分)某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组,要求每人必须参加,并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题:(1)求参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);(2)m=   ,n=   ;(3)若该校共有 1200 名学生,试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人?24.(8 分)如图,△ABC 中,点 E 在 BC 边上,AE=AB,将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接 EF,EF 与 AC 交于点 G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC 的度数.25.(8 分)如图,A 为反比例函数 y =𝑘𝑥(其中 x>0)图象上的一点,在 x 轴正半轴上有一点 B,OB=4.连接 OA,AB,且 OA=AB=2 10.(1)求 k 的值;(2)过点 B 作 BC⊥OB,交反比例函数 y =𝑘𝑥(其中 x>0)的图象于点 C,连接 OC 交 AB于点 D,求𝐴𝐷𝐷𝐵的值.26.(10 分)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 是弧 BC 的中点,BC 与 AD、OD分别交于点 E、F.(1)求证:DO∥AC;(2)求证:DE•DA=DC2;(3)若 tan∠CAD =12,求 sin∠CDA 的值.27.(10 分)已知矩形 ABCD 中,AB=5cm,点 P 为对角线 AC 上的一点,且 AP=2 5cm.如图①,动点 M 从点 A 出发,在矩形边上沿着 A→B→C 的方向匀速运动(不包含点 C).设动点 M 的运动时间为 t(s),△APM 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数关系如图②所示.(1)直接写出动点 M 的运动速度为   cm/s,BC 的长度为   cm;(2)如图③,动点 M 重新从点 A 出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点 N 从点 D 出发,在矩形边上沿着 D→C→B 的方向匀速运动,设动点 N的运动速度为 v(cm/s).已知两动点 M,N 经过时间 x(s)在线段 BC 上相遇(不包含点 C),动点 M,N 相遇后立即同时停止运动,记此时△APM 与△DPN 的面积分别为 S1(cm2),S2(cm2)①求动点 N 运动速度 v(cm/s)的取值范围;②试探究 S1•S2 是否存在最大值,若存在,求出 S1•S2 的最大值并确定运动时间 x 的值;若不存在,请说明理由.28.(10 分)如图①,抛物线 y=﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 位于点 B的左侧),与 y 轴交于点 C.已知△ABC 的面积是 6.(1)求 a 的值;(2)求△ABC 外接圆圆心的坐标;(3)如图②,P 是抛物线上一点,Q 为射线 CA 上一点,且 P、Q 两点均在第三象限内,Q、A 是位于直线 BP 同侧的不同两点,若点 P 到 x 轴的距离为 d,△QPB 的面积为 2d,且∠PAQ=∠AQB,求点 Q 的坐标.江苏省苏州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题要求的.请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位置上.1.(3 分)5 的相反数是(  )A.15 B. -15 C.5 D.﹣5【解答】解:5 的相反数是﹣5.故选:D.2.(3 分)有一组数据:2,2,4,5,7,这组数据的中位数为(  )A.2 B.4 C.5 D.7【解答】解:这组数据排列顺序为:2,2,4,5,7,∴这组数据的中位数为 4,故选:B.3.(3 分)苏州是全国重点旅游城市,2018 年实现旅游总收入约为 26000000 万元,数据26000000 用科学记数法可表示为(  )A.0.26×108 B.2.6×108 C.26×106 D.2.6×107【解答】解:将 26000000 用科学记数法表示为:2.6×107.故选:D.4.(3 分)如图,已知直线 a∥b,直线 c 与直线 a,b 分别交于点 A,B.若∠1=54°,则∠2 等于(  )A.126° B.134° C.136° D.144°【解答】解:如图所示:∵a∥b,∠1=54°,∴∠1=∠3=54°,∴∠2=180°﹣54°=126°.故选:A.5.(3 分)如图,AB 为⊙O 的切线,切点为 A 连接 AO、BO,BO 与⊙O 交于点 C,延长 BO与⊙O 交于点 D,连接 AD.若∠ABO=36°,则∠ADC 的度数为(  )A.54° B.36° C.32° D.27°【解答】解:∵AB 为⊙O 的切线,∴∠OAB=90°,∵∠ABO=36°,∴∠AOB=90°﹣∠ABO=54°,∵OA=OD,∴∠ADC=∠OAD,∵∠AOB=∠ADC+∠OAD,∴∠ADC =12∠AOB=27°;故选:D.6.(3 分)小明用 15 元买售价相同的软面笔记本,小丽用 24 元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完),已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵 3 元,且小明和小丽买到相同数量的笔记本,设软面笔记本每本售价为 x 元,根据题意可列出的方程为(  )A.15𝑥 =24𝑥 + 3 B.15𝑥 =24𝑥 ― 3 C.15𝑥 + 3 =24𝑥 D.15𝑥 ― 3 =24𝑥【解答】解:设软面笔记本每本售价为 x 元,根据题意可列出的方程为:15𝑥 =24𝑥 + 3.故选:A.7.(3 分)若一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0)的图象经过点 A(0,﹣1),B(1,1),则不等式 kx+b>1 的解为(  )A.x<0 B.x>0 C.x<1 D.x>1【解答】解:如图所示:不等式 kx+b>1 的解为:x>1.故选:D.8.(3 分)如图,小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度,将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离为 18 3m 的地面上,若测角仪的高度是 1.5m.测得教学楼的顶部 A 处的仰角为 30°.则教学楼的高度是(  )A.55.5m B.54m C.19.5m D.18m【解答】解:过 D 作 DE⊥AB,∵在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 30°,∴∠ADE=30°,∵BC=DE=18 3m,∴AE=DE•tan30°=18m,∴AB=AE+BE=AE+CD=18+1.5=19.5m,故选:C.9.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,AC=4,BD=16,将△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A'B'O'.当点 A'与点 C 重合时,点 A 与点 B'之间的距离为(  )A.6 B.8 C.10 D.12【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC =12AC=2,OB=OD =12BD=8,∵△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A'B'O',点 A'与点 C 重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°,∴AO'=AC+O'C=6,∴AB' = 𝑂′𝐵′2 + 𝐴𝑂′2 = 82 + 62 = 10;故选:C.10.(3 分)如图,在△ABC 中,点 D 为 BC 边上的一点,且 AD=AB=2,AD⊥AB.过点 D作 DE⊥AD,DE 交 AC 于点 E.若 DE=1,则△ABC 的面积为(  )A.4 2 B.4 C.2 5 D.8【解答】解:∵AB⊥AD,AD⊥DE,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴DE∥AB,∴∠CED=∠CAB,∵∠C=∠C,∴△CED∽△CAB,∵DE=1,AB=2,即 DE:AB=1:2,∴S△DEC:S△ACB=1:4,∴S 四边形 ABDE:S△ACB=3:4,∵S 四边形 ABDE=S△ABD+S△ADE =12 × 2×2 +12 × 2×1=2+1=3,∴S△ACB=4,故选:B.二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.把答案直接填在答题卡相应位置上.11.(3 分)计算:a2•a3= a5 .【解答】解:a2•a3=a2+3=a5.故答案为:a5.12.(3 分)因式分解:x2﹣xy= x(x﹣y) .【解答】解:x2﹣xy=x(x﹣y).故答案为:x(x﹣y).13.(3 分)若 x - 6在实数范围内有意义,则 x 的取值范围为 x≥6 .【解答】解:若 x - 6在实数范围内有意义,则 x﹣6≥0,解得:x≥6.故答案为:x≥6.14.(3 分)若 a+2b=8,3a+4b=18,则 a+b 的值为 5 .【解答】解:∵a+2b=8,3a+4b=18,则 a=8﹣2b,代入 3a+4b=18,解得:b=3,则 a=2,故 a+b=5.故答案为:5.15.(3 分)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造,可以拼出许多有趣的图形,被誉为“东方魔板”.图①是由边长为 10cm 的正方形薄板分为 7 块制作成的“七巧板”,图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形.该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为 5 22  cm(结果保留根号).【解答】解:10×10=100(cm2)1008 =5 22 (cm)答:该“七巧板”中 7 块图形之一的正方形边长为5 22 cm.故答案为:5 22 .16.(3 分)如图,将一个棱长为 3 的正方体的表面涂上红色,再把它分割成棱长为 1 的小正方体,从中任取一个小正方体,则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为 827 .【解答】解:由题意可得:小立方体一共有 27 个,恰有三个面涂有红色的有 8 个,故取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为:827.故答案为:827.17.(3 分)如图,扇形 OAB 中,∠AOB=90°.P 为弧 AB 上的一点,过点 P 作 PC⊥OA,垂足为 C,PC 与 AB 交于点 D.若 PD=2,CD=1,则该扇形的半径长为 5 .【解答】解:连接 OP,如图所示.∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=45°.∵PC⊥OA,∴△ACD 为等腰直角三角形,∴AC=CD=1.设该扇形的半径长为 r,则 OC=r﹣1,在 Rt△POC 中,∠PCO=90°,PC=PD+CD=3,∴OP2=OC2+PC2,即 r2=(r﹣1)2+9,解得:r=5.故答案为:5.18.(3 分)如图,一块含有 45°角的直角三角板,外框的一条直角边长为 8cm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2cm,则图中阴影部分的面积为 (10 +122) cm2(结果保留根号).【解答】解:如图,EF=DG=CH = 2,∵含有 45°角的直角三角板,∴BC = 2,GH=2,∴FG=8 - 2 ― 2 - 2 = 6﹣2 2,∴图中阴影部分的面积为:8×8÷2﹣(6﹣2 2)×(6﹣2 2)÷2=32﹣22+12 2=10+12 2(cm2)答:图中阴影部分的面积为(10 +12 2)cm2.故答案为:(10 +12 2).三、解答题;本大题共 10 小题,共 76 分.把解答过程写答题卡相应位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明,作图时用 2B 铅笔或黑色墨水签宇笔.19.(5 分)计算:( 3)2+|﹣2|﹣(π﹣2)0【解答】解:原式=3+2﹣1=4.20.(5 分)解不等式组:{x + 1<52(𝑥 + 4)>3𝑥 + 7【解答】解:解不等式 x+1<5,得:x<4,解不等式 2(x+4)>3x+7,得:x<1,则不等式组的解集为 x<1.21.(6 分)先化简,再求值:𝑥 ― 3𝑥2 + 6𝑥 + 9÷ (1 -6𝑥 + 3),其中,x =2 ― 3.【解答】解:原式 =𝑥 ― 3(𝑥 + 3)2÷ (𝑥 + 3𝑥 + 3 ―6𝑥 + 3)=𝑥 ― 3(𝑥 + 3)2÷𝑥 ― 3𝑥 + 3 =𝑥 ― 3(𝑥 + 3)2•𝑥 + 3𝑥 ― 3 =1𝑥 + 3,当 x = 2 ― 3 时,原式 =12 ― 3 + 3=12=22 .22.(6 分)在一个不透明的盒子中装有 4 张卡片,4 张卡片的正面分别标有数字 1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是 12 ;(2)先从盒了中任意抽取一张卡片,再从余下的 3 张卡片中任意抽取一张卡片,求抽取的 2 张卡片标有数字之和大于 4 的概率.(请用画树状图或列表等方法求解).【解答】解:(1)从盒子中任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是为24 =12,故答案为:12.(2)根据题意列表得: 1 2 3 41 3 4 52 3 5 63 4 5 74 5 6 7由表可知,共有 12 种等可能结果,其中抽取的 2 张卡片标有数字之和大于 4 的有 8 种结果,所以抽取的 2 张卡片标有数字之和大于 4 的概率为812 =23.23.(8 分)某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组,要求每人必须参加,并且只能选择其中一个小组,为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况,学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图(部分信息未给出),请你根据给出的信息解答下列问题:(1)求参加这次问卷调查的学生人数,并补全条形统计图(画图后请标注相应的数据);(2)m= 36 ,n= 16 ;(3)若该校共有 1200 名学生,试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人?【解答】解:(1)参加这次问卷调查的学生人数为 30÷20%=150(人),航模的人数为 150﹣(30+54+24)=42(人),补全图形如下:(2)m% =54150 × 100%=36%,n% =24150 × 100%=16%,即 m=36、n=16,故答案为:36、16;(3)估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有 1200×16%=192(人).24.(8 分)如图,△ABC 中,点 E 在 BC 边上,AE=AB,将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接 EF,EF 与 AC 交于点 G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC 的度数.【解答】(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,∴∠BAC=∠EAF.∵将线段 AC 绕 A 点旋转到 AF 的位置,∴AC=AF.在△ABC 与△AEF 中,{AB = AE∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐸𝐴𝐹𝐴𝐶 = 𝐴𝐹 ,∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC;(2)解:∵AB=AE,∠ABC=65°,∴∠BAE=180°﹣65°×2=50°,∴∠FAG=∠BAE=50°.∵△ABC≌△AEF,∴∠F=∠C=28°,∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.25.(8 分)如图,A 为反比例函数 y =𝑘𝑥(其中 x>0)图象上的一点,在 x 轴正半轴上有一点 B,OB=4.连接 OA,AB,且 OA=AB=2 10.(1)求 k 的值;(2)过点 B 作 BC⊥OB,交反比例函数 y =𝑘𝑥(其中 x>0)的图象于点 C,连接 OC 交AB 于点 D,求𝐴𝐷𝐷𝐵的值.【解答】解:(1)过点 A 作 AH⊥x 轴,垂足为点 H,AH 交 OC 于点 M,如图所示.∵OA=AB,AH⊥OB,∴OH=BH =12OB=2,∴AH = 𝑂𝐴2 ― 𝑂𝐻2 = 6,∴点 A 的坐标为(2,6).∵A 为反比例函数 y =𝑘𝑥图象上的一点,∴k=2×6=12.(2)∵BC⊥x 轴,OB=4,点 C 在反比例函数 y =12𝑥 上,∴BC =𝑘𝑂𝐵 = 3.∵AH∥BC,OH=BH,∴MH =12BC =32,∴AM=AH﹣MH =92.∵AM∥BC,∴△ADM∽△BDC,∴𝐴𝐷𝐷𝐵 =𝐴𝑀𝐵𝐶 =32.26.(10 分)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 是弧 BC 的中点,BC 与 AD、OD分别交于点 E、F.(1)求证:DO∥AC;(2)求证:DE•DA=DC2;(3)若 tan∠CAD =12,求 sin∠CDA 的值.【解答】解:(1)∵点 D 是BC中点,OD 是圆的半径,∴OD⊥BC,∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90°,∴AC∥OD;(2)∵CD = 𝐵𝐷,∴∠CAD=∠DCB,∴△DCE∽△DCA,∴CD2=DE•DA;(3)∵tan∠CAD =12,∴△DCE 和△DAC 的相似比为:12,设:DE=a,则 CD=2a,AD=4a,AE=3a,∴𝐴𝐸𝐷𝐸 = 3,即△AEC 和△DEF 的相似比为 3,设:EF=k,则 CE=3k,BC=8k,tan∠CAD =12,∴AC=6k,AB=10k,∴sin∠CDA =35.27.(10 分)已知矩形 ABCD 中,AB=5cm,点 P 为对角线 AC 上的一点,且 AP=2 5cm.如图①,动点 M 从点 A 出发,在矩形边上沿着 A→B→C 的方向匀速运动(不包含点 C).设动点 M 的运动时间为 t(s),△APM 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数关系如图②所示.(1)直接写出动点 M 的运动速度为 2 cm/s,BC 的长度为 10 cm;(2)如图③,动点 M 重新从点 A 出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点 N 从点 D 出发,在矩形边上沿着 D→C→B 的方向匀速运动,设动点 N的运动速度为 v(cm/s).已知两动点 M,N 经过时间 x(s)在线段 BC 上相遇(不包含点 C),动点 M,N 相遇后立即同时停止运动,记此时△APM 与△DPN 的面积分别为 S1(cm2),S2(cm2)①求动点 N 运动速度 v(cm/s)的取值范围;②试探究 S1•S2 是否存在最大值,若存在,求出 S1•S2 的最大值并确定运动时间 x 的值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵t=2.5s 时,函数图象发生改变,∴t=2.5s 时,M 运动到点 B 处,∴动点 M 的运动速度为:52.5 = 2cm/s,∵t=7.5s 时,S=0,∴t=7.5s 时,M 运动到点 C 处,∴BC=(7.5﹣2.5)×2=10(cm),故答案为:2,10;(2)①∵两动点 M,N 在线段 BC 上相遇(不包含点 C),∴当在点 C 相遇时,v =57.5 =23(cm/s),当在点 B 相遇时,v =5 + 102.5 = 6(cm/s),∴动点 N 运动速度 v(cm/s)的取值范围为23cm/s<v≤6cm/s;②过 P 作 EF⊥AB 于 F,交 CD 于 E,如图 3 所示:则 EF∥BC,EF=BC=10,∴𝐴𝐹𝐴𝐵 =𝐴𝑃𝐴𝐶,∵AC = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 5 5,∴𝐴𝐹5 =2 55 5,解得:AF=2,∴DE=AF=2,CE=BF=3,PF = 𝐴𝑃2 ― 𝐴𝐹2 = 4,∴EP=EF﹣PF=6,∴S1=S△APM=S△APF+S 梯形 PFBM﹣S△ABM =12 × 4×2 +12(4+2x﹣5)×3 -12 × 5×(2x﹣5)=﹣2x+15,S2=S△DPM=S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM =12 × 2×6 +12(6+15﹣2x)×3 -12 × 5×(15﹣2x)=2x,∴S1•S2=(﹣2x+15)×2x=﹣4x2+30x=﹣4(x -154 )2 +2254 ,∵2.5<154 <7.5,在 BC 边上可取,∴当 x =154 时,S1•S2 的最大值为2254 .28.(10 分)如图①,抛物线 y=﹣x2+(a+1)x﹣a 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 位于点 B的左侧),与 y 轴交于点 C.已知△ABC 的面积是 6.(1)求 a 的值;(2)求△ABC 外接圆圆心的坐标;(3)如图②,P 是抛物线上一点,Q 为射线 CA 上一点,且 P、Q 两点均在第三象限内,Q、A 是位于直线 BP 同侧的不同两点,若点 P 到 x 轴的距离为 d,△QPB 的面积为 2d,且∠PAQ=∠AQB,求点 Q 的坐标.【解答】解:(1)∵y=﹣x2+(a+1)x﹣a令 y=0,即﹣x2+(a+1)x﹣a=0解得 x1=a,x2=1由图象知:a<0∴A(a,0),B(1,0)∵s△ABC=6∴12(1 ― 𝑎)( ― 𝑎) = 6解得:a=﹣3,(a=4 舍去)(2)设直线 AC:y=kx+b,由 A(﹣3,0),C(0,3),可得﹣3k+b=0,且 b=3∴k=1即直线 AC:y=x+3,A、C 的中点 D 坐标为( -32,32)∴线段 AC 的垂直平分线解析式为:y=﹣x,线段 AB 的垂直平分线为 x=﹣1代入 y=﹣x,解得:y=1∴△ABC 外接圆圆心的坐标(﹣1,1)(3)作 PM⊥x 轴,则s△𝐵𝐴𝑃 =12𝐴𝐵 ⋅ 𝑃𝑀 =12 × 4 × 𝑑 ∵s△𝑃𝑄𝐵 = 𝑆△𝑃𝐴𝐵∴A、Q 到 PB 的距离相等,∴AQ∥PB设直线 PB 解析式为:y=x+b∵直线经过点 B(1,0)所以:直线 PB 的解析式为 y=x﹣1联立{y = ―𝑥2 ― 2𝑥 + 3𝑦 = 𝑥 ― 1解得:{x = -4𝑦 = ―5∴点 P 坐标为(﹣4,﹣5)又∵∠PAQ=∠AQB可得:△PBQ≌△ABP(AAS)∴PQ=AB=4设 Q(m,m+3)由 PQ=4 得:(m + 4)2 +(𝑚 + 3 + 5)2 = 42 解得:m=﹣4,m=﹣8(舍去) ∴Q 坐标为(﹣4,﹣1) 查看更多

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