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湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题(本题共 12 小题,每题 3 分,共 36 分)1.(3 分)下列各数中,比﹣3 小的数是(  )A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.12.(3 分)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到 2020 年,长沙电网建设改造投资规模达到 15000000000 元,确保安全供用电需求.数据 15000000000 用科学记数法表示为(  )A.15×109 B.1.5×109 C.1.5×1010 D.0.15×10113.(3 分)下列计算正确的是(  )A.3a+2b=5ab B.(a3)2=a6C.a6÷a3=a2 D.(a+b)2=a2+b24.(3 分)下列事件中,是必然事件的是(  )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是 180°5.(3 分)如图,平行线 AB,CD 被直线 AE 所截,∠1=80°,则∠2 的度数是(  )A.80° B.90° C.100° D.110°6.(3 分)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是(  )A. B.C. D.7.(3 分)在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中,11 名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前 5 名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这 11 名同学成绩的(  )A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差8.(3 分)一个扇形的半径为 6,圆心角为 120°,则该扇形的面积是(  )A.2π B.4π C.12π D.24π9.(3 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则∠CAD 的度数是(  )A.20° B.30° C.45° D.60°10.(3 分)如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向,距离灯塔 60nmile 的小岛 A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处,这时轮船 B 与小岛 A 的距离是(  )A.30 3nmile B.60nmileC.120nmile D.(30+30 3)nmile11.(3 分)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余 1尺,问木头长多少尺?可设木头长为 x 尺,绳子长为 y 尺,则所列方程组正确的是(  )A.{y = x + 4.50.5𝑦 = 𝑥 ― 1 B.{y = x + 4.5𝑦 = 2𝑥 ― 1C.{y = x - 4.50.5𝑦 = 𝑥 + 1 D.{y = x - 4.5𝑦 = 2𝑥 ― 112.(3 分)如图,△ABC 中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC 于点 E,D 是线段 BE 上的一个动点,则 CD +55 BD 的最小值是(  )A.2 5 B.4 5 C.5 3 D.10二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)13.(3 分)式子 x - 5在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是   .14.(3 分)分解因式:am2﹣9a=   .15.(3 分)不等式组{x + 1 ≥ 03𝑥 ― 6<0 的解集是   .16.(3 分)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:摸球实验次数100 1000 5000 10000 50000 100000“摸出黑球”的次数36 387 2019 4009 19970 40008“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是   .(结果保留小数点后一位)17.(3 分)如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点 C,连接 AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测得 DE=50m,则 AB 的长是   m.18.(3 分)如图,函数 y =𝑘𝑥(k 为常数,k>0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B两点,点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧),直线 AM 分别交 x 轴,y轴于 C,D 两点,连接 BM 分别交 x 轴,y 轴于点 E,F.现有以下四个结论:①△ODM 与△OCA 的面积相等;②若 BM⊥AM 于点 M,则∠MBA=30°;③若 M 点的横坐标为 1,△OAM 为等边三角形,则 k=2 + 3;④若 MF =25MB,则 MD=2MA.其中正确的结论的序号是   .(只填序号)三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第23、24 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)19.(6 分)计算:| - 2|+(12)﹣1 - 6 ÷ 3 ― 2cos60°.20.(6 分)先化简,再求值:(𝑎 + 3𝑎 ― 1 ―1𝑎 ― 1) ÷𝑎2 + 4𝑎 + 4𝑎2 ― 𝑎,其中 a=3.21.(8 分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.等级 频数 频率优秀 21 42%良好 m 40%合格 6 n%待合格 3 6%(1)本次调查随机抽取了   名学生;表中 m=   ,n=   ;(2)补全条形统计图;(3)若全校有 2000 名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.22.(8 分)如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 DE=CF,AF 与 BE 相交于点 G.(1)求证:BE=AF;(2)若 AB=4,DE=1,求 AG 的长.23.(9 分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?24.(9 分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似;(   命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(   命题)③两个大小不同的正方形相似.(   命题)(2)如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1.求证:四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似.(3)如图 2,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD,BC 于点 E,F.记四边形 ABFE 的面积为 S1,四边形 EFCD 的面积为 S2,若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求𝑆2𝑆1的值.25.(10 分)已知抛物线 y=﹣2x2+(b﹣2)x+(c﹣2020)(b,c 为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求 b,c 的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 c 的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数 m,n(m<n),当 m≤x≤n 时,恰好𝑚2𝑚 + 1 ≤1𝑦 + 2≤𝑛2𝑛 + 1,求 m,n 的值.26.(10 分)如图,抛物线 y=ax2+6ax(a 为常数,a>0)与 x 轴交于 O,A 两点,点 B 为抛物线的顶点,点 D 的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接 BD 并延长与过 O,A,B 三点的⊙P 相交于点 C.(1)求点 A 的坐标;(2)过点 C 作⊙P 的切线 CE 交 x 轴于点 E.①如图 1,求证:CE=DE;②如图 2,连接 AC,BE,BO,当 a =33 ,∠CAE=∠OBE 时,求1𝑂𝐷 ―1𝑂𝐸的值.湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共 12 小题,每题 3 分,共 36 分)1.(3 分)下列各数中,比﹣3 小的数是(  )A.﹣5 B.﹣1 C.0 D.1【解答】解:﹣5<﹣3<﹣1<0<1,所以比﹣3 小的数是﹣5,故选:A.2.(3 分)根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到 2020 年,长沙电网建设改造投资规模达到 15000000000 元,确保安全供用电需求.数据 15000000000 用科学记数法表示为(  )A.15×109 B.1.5×109 C.1.5×1010 D.0.15×1011【解答】解:数据 150 0000 0000 用科学记数法表示为 1.5×1010.故选:C.3.(3 分)下列计算正确的是(  )A.3a+2b=5ab B.(a3)2=a6C.a6÷a3=a2 D.(a+b)2=a2+b2【解答】解:A、3a 与 2b 不是同类项,故不能合并,故选项 A 不合题意;B、(a3)2=a6,故选项 B 符合题意;C、a6÷a3=a3,故选项 C 不符合题意;D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项 D 不合题意.故选:B.4.(3 分)下列事件中,是必然事件的是(  )A.购买一张彩票,中奖B.射击运动员射击一次,命中靶心C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯D.任意画一个三角形,其内角和是 180°【解答】解:A.购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意;B.射击运动员射击一次,命中靶心,属于随机事件,不合题意;C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意;D.任意画一个三角形,其内角和是 180°,属于必然事件,符合题意;故选:D.5.(3 分)如图,平行线 AB,CD 被直线 AE 所截,∠1=80°,则∠2 的度数是(  )A.80° B.90° C.100° D.110°【解答】解:∵∠1=80°,∴∠3=100°,∵AB∥CD,∴∠2=∠3=100°.故选:C.6.(3 分)某个几何体的三视图如图所示,该几何体是(  )A. B.C. D.【解答】解:由三视图可知:该几何体为圆锥.故选:D.7.(3 分)在庆祝新中国成立 70 周年的校园歌唱比赛中,11 名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前 5 名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这 11 名同学成绩的(  )A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【解答】解:11 个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有 5 个数,故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选:B.8.(3 分)一个扇形的半径为 6,圆心角为 120°,则该扇形的面积是(  )A.2π B.4π C.12π D.24π【解答】解:S =120 × 𝜋 × 62360 = 12π,故选:C.9.(3 分)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则∠CAD 的度数是(  )A.20° B.30° C.45° D.60°【解答】解:在△ABC 中,∵∠B=30°,∠C=90°,∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°,由作图可知 MN 为 AB 的中垂线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=30°,∴∠CAD=∠BAC﹣∠DAB=30°,故选:B.10.(3 分)如图,一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60°方向,距离灯塔 60nmile 的小岛 A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 C 的南偏东 45°方向上的 B 处,这时轮船 B 与小岛 A 的距离是(  )A.30 3nmile B.60nmileC.120nmile D.(30+30 3)nmile【解答】解:过 C 作 CD⊥AB 于 D 点,∴∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.在 Rt△ACD 中,cos∠ACD =𝐶𝐷𝐴𝐶,∴CD=AC•cos∠ACD=60 ×32 = 30 3.在 Rt△DCB 中,∵∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD=30 3,∴AB=AD+BD=30+30 3.答:此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是(30+30 3)nmile.故选:D.11.(3 分)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余 4.5 尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余 1尺,问木头长多少尺?可设木头长为 x 尺,绳子长为 y 尺,则所列方程组正确的是(  )A.{y = x + 4.50.5𝑦 = 𝑥 ― 1 B.{y = x + 4.5𝑦 = 2𝑥 ― 1C.{y = x - 4.50.5𝑦 = 𝑥 + 1 D.{y = x - 4.5𝑦 = 2𝑥 ― 1【解答】解:由题意可得,{y = x + 4.50.5𝑦 = 𝑥 ― 1,故选:A.12.(3 分)如图,△ABC 中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC 于点 E,D 是线段 BE 上的一个动点,则 CD +55 BD 的最小值是(  )A.2 5 B.4 5 C.5 3 D.10【解答】解:如图,作 DH⊥AB 于 H,CM⊥AB 于 M.∵BE⊥AC,∴∠ABE=90°,∵tanA =𝐵𝐸𝐴𝐸 = 2,设 AE=a,BE=2a,则有:100=a2+4a2,∴a2=20,∴a=2 5或﹣2 5(舍弃),∴BE=2a=4 5,∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AC,∴CM=BE=4 5(等腰三角形两腰上的高相等))∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴sin∠DBH =𝐷𝐻𝐵𝐷 =𝐴𝐸𝐴𝐵 =55 ,∴DH =55 BD,∴CD +55 BD=CD+DH,∴CD+DH≥CM,∴CD +55 BD≥4 5,∴CD +55 BD 的最小值为 4 5.故选:B.二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)13.(3 分)式子 x - 5在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是 x≥5 .【解答】解:式子 x - 5在实数范围内有意义,则 x﹣5≥0,故实数 x 的取值范围是:x≥5.故答案为:x≥5.14.(3 分)分解因式:am2﹣9a= a(m+3)(m﹣3) .【解答】解:am2﹣9a=a(m2﹣9)=a(m+3)(m﹣3).故答案为:a(m+3)(m﹣3).15.(3 分)不等式组{x + 1 ≥ 03𝑥 ― 6<0 的解集是 ﹣1≤x<2 .【解答】解:{x + 1 ≥ 0①3𝑥 ― 6<0②解不等式①得:x≥﹣1,解不等式②得:x<2,∴不等式组的解集为:﹣1≤x<2,故答案为:﹣1≤x<2.16.(3 分)在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上述过程.以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表:摸球实验次数100 1000 5000 10000 50000 100000“摸出黑球” 36 387 2019 4009 19970 40008的次数“摸出黑球”的频率(结果保留小数点后三位)0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 0.4 .(结果保留小数点后一位)【解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在 0.4 附近,故摸到白球的频率估计值为 0.4;故答案为:0.4.17.(3 分)如图,要测量池塘两岸相对的 A,B 两点间的距离,可以在池塘外选一点 C,连接 AC,BC,分别取 AC,BC 的中点 D,E,测得 DE=50m,则 AB 的长是 100 m.【解答】解:∵点 D,E 分别是 AC,BC 的中点,∴DE 是△ABC 的中位线,∴AB=2DE=2×50=100 米.故答案为:100.18.(3 分)如图,函数 y =𝑘𝑥(k 为常数,k>0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B两点,点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧),直线 AM 分别交 x 轴,y轴于 C,D 两点,连接 BM 分别交 x 轴,y 轴于点 E,F.现有以下四个结论:①△ODM 与△OCA 的面积相等;②若 BM⊥AM 于点 M,则∠MBA=30°;③若 M 点的横坐标为 1,△OAM 为等边三角形,则 k=2 + 3;④若 MF =25MB,则 MD=2MA.其中正确的结论的序号是 ①③④ .(只填序号)【解答】解:①设点 A(m,𝑘𝑚),M(n,𝑘𝑛),则直线 AC 的解析式为 y = -𝑘𝑚𝑛x +𝑘𝑛 +𝑘𝑚,∴C(m+n,0),D(0,(𝑚 + 𝑛)𝑘𝑚𝑛 ),∴S△ODM =12 × n ×(𝑚 + 𝑛)𝑘𝑚𝑛 =(𝑚 + 𝑛)𝑘2𝑚 ,S△OCA =12 × (m+n) ×𝑘𝑚 =(𝑚 + 𝑛)𝑘2𝑚 ,∴△ODM 与△OCA 的面积相等,故①正确;∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,∴O 是 AB 的中点,∵BM⊥AM,∴OM=OA,∴k=mn,∴A(m,n),M(n,m),∴AM = 2(n﹣m),OM = 𝑚2 + 𝑛2,∴AM 不一定等于 OM,∴∠BAM 不一定是 60°,∴∠MBA 不一定是 30°.故②错误,∵M 点的横坐标为 1,∴可以假设 M(1,k),∵△OAM 为等边三角形,∴OA=OM=AM,1+k2=m2 +𝑘2𝑚2,∴m=k,∵OM=AM,∴(1﹣m)2 +(k -𝑘𝑚)2 = 1+k2,∴k2﹣4k+1=0,∴k=2 ± 3,∵m>1,∴k=2 + 3,故③正确,如图,作 MK∥OD 交 OA 于 K.∵OF∥MK,∴𝐹𝑀𝐵𝑀 =𝑂𝐾𝐾𝐵 =25,∴𝑂𝐾𝑂𝐵 =23,∵OA=OB,∴𝑂𝐾𝑂𝐴 =23,∴𝑂𝐾𝐾𝐴 =21,∵KM∥OD,∴𝐷𝑀𝐴𝑀 =𝑂𝐾𝐴𝐾 = 2,∴DM=2AM,故④正确.故答案为①③④.三、解答题(本大题共 8 个小题,第 19、20 题每小题 6 分,第 21、22 题每小题 6 分,第23、24 题每小题 6 分,第 25、26 题每小题 6 分,共 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)19.(6 分)计算:| - 2|+(12)﹣1 - 6 ÷ 3 ― 2cos60°.【解答】解:原式 = 2 + 2 - 6 ÷ 3 ― 2 ×12= 2 + 2 - 2 ― 1=1.20.(6 分)先化简,再求值:(𝑎 + 3𝑎 ― 1 ―1𝑎 ― 1) ÷𝑎2 + 4𝑎 + 4𝑎2 ― 𝑎,其中 a=3.【解答】解:原式 =𝑎 + 2𝑎 ― 1•𝑎(𝑎 ― 1)(𝑎 + 2)2=𝑎𝑎 + 2,当 a=3 时,原式 =33 + 2 =35.21.(8 分)某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动.为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图.等级 频数 频率优秀 21 42%良好 m 40%合格 6 n%待合格 3 6%(1)本次调查随机抽取了 50 名学生;表中 m= 20 ,n= 12 ;(2)补全条形统计图;(3)若全校有 2000 名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.【解答】解:(1)本次调查随机抽取了 21÷42%=50 名学生,m=50×40%=20,n =650 × 100=12,故答案为:50,20,12;(2)补全条形统计图如图所示;(3)2000 ×21 + 2050 = 1640 人,答:该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有 1640 人.22.(8 分)如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 DE=CF,AF 与 BE 相交于点 G.(1)求证:BE=AF;(2)若 AB=4,DE=1,求 AG 的长.【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE 和△ADF 中,{AB = AD∠𝐵𝐴𝐸 = ∠𝐴𝐷𝐹𝐴𝐸 = 𝐷𝐹 ,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF;(2)解:由(1)得:△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐸2 = 42 + 32 = 5,在 Rt△ABE 中,12AB×AE =12BE×AG,∴AG =4 × 35 =125 .23.(9 分)近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生 2 万人次,第三批公益课受益学生 2.42 万人次.(1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率;(2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次?【解答】解:(1)设增长率为 x,根据题意,得2(1+x)2=2.42,解得 x1=﹣2.1(舍去),x2=0.1=10%.答:增长率为 10%.(2)2.42(1+0.1)=2.662(万人).答:第四批公益课受益学生将达到 2.662 万人次.24.(9 分)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).①四条边成比例的两个凸四边形相似;( 假 命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似;( 假 命题)③两个大小不同的正方形相似.( 真 命题)(2)如图 1,在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1.求证:四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似.(3)如图 2,四边形 ABCD 中,AB∥CD,AC 与 BD 相交于点 O,过点 O 作 EF∥AB 分别交 AD,BC 于点 E,F.记四边形 ABFE 的面积为 S1,四边形 EFCD 的面积为 S2,若四边形 ABFE 与四边形 EFCD 相似,求𝑆2𝑆1的值.【解答】(1)解:①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.③两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答案为假,假,真.(2)证明:如图 1 中,连接 BD,B1D1.∵∠BCD=∠B1C1D1,且𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1,∴△BCD∽△B1C1D1,∴∠CDB=∠C1D1B1,∠C1B1D1=∠CBD,∵𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1,∴𝐵𝐷𝐵1𝐷1=𝐴𝐵𝐴1𝐵1,∵∠ABC=∠A1B1C1,∴∠ABD=∠A1B1D1,∴△ABD∽△A1B1D1,∴𝐴𝐷𝐴1𝐷1=𝐴𝐵𝐴1𝐵1,∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1,∴,𝐴𝐵𝐴1𝐵1=𝐵𝐶𝐵1𝐶1=𝐶𝐷𝐶1𝐷1=𝐴𝐷𝐴1𝐷1,∠ADC=∠A1D1C1,∠A=∠A1,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,∴四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似.(3)如图 2 中,∵四边形 ABCD 与四边形 EFCD 相似.∴𝐷𝐸𝐴𝐸 =𝐸𝐹𝐴𝐵,∵EF=OE+OF,∴𝐷𝐸𝐴𝐸 =𝑂𝐸 + 𝑂𝐹𝐴𝐵 ,∵EF∥AB∥CD,∴𝐷𝐸𝐴𝐷 =𝑂𝐸𝐴𝐵,𝐷𝐸𝐴𝐷 =𝑂𝐶𝐴𝐵 =𝑂𝐹𝐴𝐵,∴𝐷𝐸𝐴𝐷 +𝐷𝐸𝐴𝐷 =𝑂𝐸𝐴𝐵 +𝑂𝐹𝐴𝐵,∴2𝐷𝐸𝐴𝐷 =𝐷𝐸𝐴𝐸,∵AD=DE+AE,∴2𝐷𝐸 + 𝐴𝐸 =1𝐴𝐸,∴2AE=DE+AE,∴AE=DE,∴𝑆1𝑆2= 1.25.(10 分)已知抛物线 y=﹣2x2+(b﹣2)x+(c﹣2020)(b,c 为常数).(1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求 b,c 的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 c 的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数 m,n(m<n),当 m≤x≤n 时,恰好𝑚2𝑚 + 1 ≤1𝑦 + 2≤𝑛2𝑛 + 1,求 m,n 的值.【解答】解:(1)由题可知,抛物线解析式是:y=﹣2(x﹣1)2+1=﹣2x2+4x﹣1.∴{b - 2 = 4𝑐 ― 2020 = ―1.∴b=6,c=2019.(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是(x0,y0),(﹣x0,﹣y0),代入解析式可得:{y0 = ―2𝑥02 + (𝑏 ― 2)𝑥0 + (𝑐 ― 2020)― 𝑦0 = ―2𝑥02 ― (𝑏 ― 2)𝑥0 + (𝑐 ― 2020).∴两式相加可得:﹣4x02+2(c﹣2020)=0.∴c=2x02+2020,∴c≥2020;(3)由(1)可知抛物线为 y=﹣2x2+4x﹣1=﹣2(x﹣1)2+1.∴y≤1.∵0<m<n,当 m≤x≤n 时,恰好𝑚2𝑚 + 1 ≤1𝑦 + 2 ≤𝑛2𝑛 + 1,∴1𝑛 ≤1𝑦 + 2 ≤1𝑚.∴1𝑛 ≤ y ≤1𝑚.∴1𝑚 ≤ 1,即 m≥1.∴1≤m<n.∵抛物线的对称轴是 x=1,且开口向下,∴当 m≤x≤n 时,y 随 x 的增大而减小.∴当 x=m 时,y 最大值=﹣2m2+4m﹣1.当 x=n 时,y 最小值=﹣2n2+4n﹣1.又1𝑛 ≤ y ≤1𝑚,∴{1𝑛 = ―2𝑛2 + 4𝑛 ― 1①1𝑚 = ―2𝑚2 + 4𝑚 ― 1②.将①整理,得 2n3﹣4n2+n+1=0,变形,得 2n2(n﹣1)﹣(2n+1)(n﹣1)=0.∴(n﹣1)(2n2﹣2n﹣1)=0.∵n>1,∴2n2﹣2n﹣1=0.解得 n1 =1 ― 32 (舍去),n2 =1 + 32 .同理,由②得到:(m﹣1)(2m2﹣2m﹣1)=0.∵1≤m<n,∴2m2﹣2m﹣1=0.解得 m1=1,m2 =1 ― 32 (舍去),m3 =1 + 32 (舍去).综上所述,m=1,n =1 + 32 .26.(10 分)如图,抛物线 y=ax2+6ax(a 为常数,a>0)与 x 轴交于 O,A 两点,点 B 为抛物线的顶点,点 D 的坐标为(t,0)(﹣3<t<0),连接 BD 并延长与过 O,A,B 三点的⊙P 相交于点 C.(1)求点 A 的坐标;(2)过点 C 作⊙P 的切线 CE 交 x 轴于点 E.①如图 1,求证:CE=DE;②如图 2,连接 AC,BE,BO,当 a =33 ,∠CAE=∠OBE 时,求1𝑂𝐷 ―1𝑂𝐸的值.【解答】解:(1)令 ax2+6ax=0,ax(x+6)=0,∴A(﹣6,0);(2)①证明:如图,连接 PC,连接 PB 延长交 x 轴于点 M,∵⊙P 过 O、A、B 三点,B 为顶点,∴PM⊥OA,∠PBC+∠BOM=90°,又∵PC=PB,∴∠PCB=∠PBC,∵CE 为切线,∴∠PCB+∠ECD=90°,又∵∠BDP=∠CDE,∴∠ECD=∠COE,∴CE=DE.②解:设 OE=m,即 E(m,0),由切割线定理得:CE2=OE•AE,∴(m﹣t)2=m•(m+6),∴m =𝑡26 + 2𝑡①,∵∠CAE=∠CBD,∠CAE=∠OBE,∠CBO=∠EBO,由角平分线定理:𝐵𝐷𝐵𝐸 =𝑂𝐷𝑂𝐸,即:(3 + 𝑡)2 + 27(3 + 𝑚)2 + 27=―𝑡𝑚 ,∴m =6𝑡―𝑡 ― 6②,由①②得𝑡26 + 2𝑡 =6𝑡―𝑡 ― 6,整理得:t2+18t+36=0,∴t2=﹣18t﹣36,∴1𝑂𝐷 ―1𝑂𝐸 = ―1𝑡 ―1𝑚 = ―3𝑡 + 6𝑡2=16. 查看更多

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