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湖南省怀化市中考数学试卷一、选择题(每小题 4 分,共 40 分;每小題的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)1.(4 分)下列实数中,哪个数是负数(  )A.0 B.3 C. D.﹣12.(4 分)单项式﹣5ab 的系数是(  )A.5 B.﹣5 C.2 D.﹣23.(4 分)怀化位于湖南西南部,区域面积约为 27600 平方公里,将 27600 用科学记数法表示为(  )A.27.6×103 B.2.76×103 C.2.76×104 D.2.76×1054.(4 分)抽样调查某班 10 名同学身高(单位:厘米)如下:160,152,165,152,160,160,170,160,165,159.则这组数据的众数是(  )A.152 B.160 C.165 D.1705.(4 分)与 30°的角互为余角的角的度数是(  )A.30° B.60° C.70° D.90°6.(4 分)一元一次方程 x﹣2=0 的解是(  )A.x=2 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=17.(4 分)怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A. B.C. D.8.(4 分)已知∠α 为锐角,且 sinα= ,则∠α=(  )A.30° B.45° C.60° D.90°9.(4 分)一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是(  )A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=210.(4 分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户 1 只;若每户发放母羊 5 只,则多出 17 只母羊,若每户发放母羊 7 只,则有一户可分得母羊但不足 3 只.这批种羊共(  )只.A.55 B.72 C.83 D.89二、填空题(每小题 4 分,共 24 分;请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)11.(4 分)合并同类项:4a2+6a2﹣a2=   .12.(4 分)因式分解:a2﹣b2=   .13.(4 分)计算: ﹣ =   .14.(4 分)若等腰三角形的一个底角为 72°,则这个等腰三角形的顶角为   .15.(4 分)当 a=﹣1,b=3 时,代数式 2a﹣b 的值等于   .16.(4 分)探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是   .三、解答题(本大题共 7 小题,共 86 分)17.(8 分)计算:(π﹣2019)0+4sin60°﹣ +|﹣3|18.(8 分)解二元一次方组:19.(10 分)已知:如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F 分别为垂足.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)求证:四边形 AECF 是矩形.20.(10 分)如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸 B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东 60°方向,他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达 C 处,此时测得柳树位于北偏东 30°方向,试计算此段河面的宽度.21.(12 分)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛,在选拔赛中,两人各射箭 10 次的成绩(单位:环数)如下:次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:王方 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数                    频率                    李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数                    频率                    (2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数;(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.22.(12 分)如图,A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5 等分点,连接 AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形 MNFGH.(1)计算∠CAD 的度数;(2)连接 AE,证明:AE=ME;(3)求证:ME2=BM•BE.23.(14 分)如图,在直角坐标系中有 Rt△AOB,O 为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点 O 顺时针旋转 90°,得到 Rt△COD,二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象刚好经过 A,B,C 三点.(1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标;(2)过定点 Q 的直线 l:y=kx﹣k+3 与二次函数图象相交于 M,N 两点.①若 S△PMN=2,求 k 的值;②证明:无论 k 为何值,△PMN 恒为直角三角形;③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时,△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.湖南省怀化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题 4 分,共 40 分;每小題的四个选项中只有一项是正确的,请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上)1.(4 分)下列实数中,哪个数是负数(  )A.0 B.3 C. D.﹣1【分析】根据小于零的数是负数,可得答案.【解答】解:A、0 既不是正数也不是负数,故 A 错误;B、3 是正实数,故 B 错误;C、 是正实数,故 C 错误;D、﹣1 是负实数,故 D 正确;故选:D.【点评】本题考查了实数,小于零的数是负数,属于基础题型.2.(4 分)单项式﹣5ab 的系数是(  )A.5 B.﹣5 C.2 D.﹣2【分析】根据单项式系数的定义来选择,单项式中数字因数叫做单项式的系数,单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数,可得答案【解答】解:单项式﹣5ab 的系数是﹣5,故选:B.【点评】本题考查单项式,注意单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.3.(4 分)怀化位于湖南西南部,区域面积约为 27600 平方公里,将 27600 用科学记数法表示为(  )A.27.6×103 B.2.76×103 C.2.76×104 D.2.76×105【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.【解答】解:将 27600 用科学记数法表示为:2.76×105.故选:D.【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.4.(4 分)抽样调查某班 10 名同学身高(单位:厘米)如下:160,152,165,152,160,160,170,160,165,159.则这组数据的众数是(  )A.152 B.160 C.165 D.170【分析】根据众数定义:一组数据中出现次数最多的数据叫众数,可知 160 出现的次数最多.【解答】解:数据 160 出现了 4 次为最多,故众数是 160,故选:B.【点评】此题主要考查了众数,关键是把握众数定义,难度较小.5.(4 分)与 30°的角互为余角的角的度数是(  )A.30° B.60° C.70° D.90°【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案.【解答】解:与 30°的角互为余角的角的度数是:60°.故选:B.【点评】此题主要考查了互为余角的定义,正确把握互为余角的定义是解题关键.6.(4 分)一元一次方程 x﹣2=0 的解是(  )A.x=2 B.x=﹣2 C.x=0 D.x=1【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案.【解答】解:x﹣2=0,解得:x=2.故选:A.【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法,正确掌握基本解题方法是解题关键.7.(4 分)怀化是一个多民族聚居的地区,民俗文化丰富多彩.下面是几幅具有浓厚民族特色的图案,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )A. B.C. D.【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项正确;D、是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误.故选:C.【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念:轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合,中心对称是要寻找对称中心,旋转 180°后与原图重合.8.(4 分)已知∠α 为锐角,且 sinα= ,则∠α=(  )A.30° B.45° C.60° D.90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答.【解答】解:∵∠α 为锐角,且 sinα= ,∴∠α=30°.故选:A.【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值,属较简单题目.9.(4 分)一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是(  )A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=﹣1 D.x1=﹣1,x2=2【分析】利用完全平方公式变形,从而得出方程的解.【解答】解:∵x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,则 x+1=0,解得 x1=x2=﹣1,故选:C.【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.10.(4 分)为了落实精准扶贫政策,某单位针对某山区贫困村的实际情况,特向该村提供优质种羊若干只.在准备配发的过程中发现:公羊刚好每户 1 只;若每户发放母羊 5 只,则多出 17 只母羊,若每户发放母羊 7 只,则有一户可分得母羊但不足 3 只.这批种羊共(  )只.A.55 B.72 C.83 D.89【分析】设该村共有 x 户,则母羊共有(5x+17)只,根据“每户发放母羊 7 只时有一户可分得母羊但不足 3 只”列出关于 x 的不等式组,解之求得整数 x 的值,再进一步计算可得.【解答】解:设该村共有 x 户,则母羊共有(5x+17)只,由题意知,解得: <x<12,∵x 为整数,∴x=11,则这批种羊共有 11+5×11+17=83(只),故选:C.【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系,并据此得出不等式组.二、填空题(每小题 4 分,共 24 分;请将答案直接填写在答题卡的相应位置上)11.(4 分)合并同类项:4a2+6a2﹣a2= 9a2 .【分析】根据合并同类项法则计算可得.【解答】解:原式=(4+6﹣1)a2=9a2,故答案为:9a2.【点评】本题考查合并同类项,合并同类项时要注意以下三点:①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数;②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的;③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变.12.(4 分)因式分解:a2﹣b2= (a+b)(a﹣b) .【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案.【解答】解:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).故答案为:(a+b)(a﹣b).【点评】此题考查了平方差公式的应用.解题的关键是熟记公式.13.(4 分)计算: ﹣ = 1 .【分析】由于两分式的分母相同,分子不同,故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可.【解答】解:原式==1.故答案为:1.【点评】本题考查的是分式的加减法,即同分母的分式想加减,分母不变,把分子相加减.14.(4 分)若等腰三角形的一个底角为 72°,则这个等腰三角形的顶角为 36° .【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.【解答】解:∵等腰三角形的一个底角为 72°,∴等腰三角形的顶角=180°﹣72°﹣72°=36°,故答案为:36°.【点评】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.15.(4 分)当 a=﹣1,b=3 时,代数式 2a﹣b 的值等于 ﹣5 .【分析】把 a、b 的值代入代数式,即可求出答案即可.【解答】解:当 a=﹣1,b=3 时,2a﹣b=2×(﹣1)﹣3=﹣5,故答案为:﹣5.【点评】本题考查了求代数式的值的应用,能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键.16.(4 分)探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是 n﹣1 .【分析】由题意“分数墙”的总面积=2× +3× +4× +…+n× =n﹣1.【解答】解:由题意“分数墙”的总面积=2× +3× +4× +…+n× =n﹣1,故答案为 n﹣1.【点评】本题考查规律型问题,有理数的混合运算等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.三、解答题(本大题共 7 小题,共 86 分)17.(8 分)计算:(π﹣2019)0+4sin60°﹣ +|﹣3|【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号,再计算乘法,最后计算加减可得.【解答】解:原式=1+4× ﹣2 +3=1+2 ﹣2 +3=4.【点评】本题主要考查实数的运算,解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质.18.(8 分)解二元一次方组:【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可.【解答】解: ,①+②得:2x=8,解得:x=4,则 4﹣3y=1,解得:y=1,故方程组的解为: .【点评】此题主要考查了解二元一次方程组,正确掌握解题方法是解题关键.19.(10 分)已知:如图,在▱ABCD 中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F 分别为垂足.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)求证:四边形 AECF 是矩形.【分析】(1)由平行四边形的性质得出∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,由已知得出∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,由 AAS 证明△ABE≌△CDF 即可;(2)证出∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,即可得出结论.【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC,∵AE⊥BC,CF⊥AD,∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°,在△ABE 和△CDF 中, ,∴△ABE≌△CDF(AAS);(2)证明:∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=90°,∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,∴四边形 AECF 是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键.20.(10 分)如图,为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度,小明在南岸 B 处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东 60°方向,他以每秒 1.5 米的速度沿着河岸向东步行 40 秒后到达 C 处,此时测得柳树位于北偏东 30°方向,试计算此段河面的宽度.【分析】如图,作 AD⊥于 BC 于 D.由题意得到 BC=1.5×40=60 米,∠ABD=30°,∠ACD=60°,根据三角形的外角的性质得到∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,求得∠ABC=∠BAC,得到 BC=AC=60 米.在 Rt△ACD 中,根据三角函数的定义即可得到结论.【解答】解:如图,作 AD⊥于 BC 于 D.由题意可知:BC=1.5×40=60 米,∠ABD=30°,∠ACD=60°,∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=30°,∴∠ABC=∠BAC,∴BC=AC=60 米.在 Rt△ACD 中,AD=AC•sin60°=60× =30 (米).答:这条河的宽度为 30 米.【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题,解题时首先正确理解题意,然后作出辅助线构造直角三角形解决问题.21.(12 分)某射箭队准备从王方、李明二人中选拔 1 人参加射箭比赛,在选拔赛中,两人各射箭 10 次的成绩(单位:环数)如下:次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10王方 7 10 9 8 6 9 9 7 10 10李明 8 9 8 9 8 8 9 8 10 8(1)根据以上数据,将下面两个表格补充完整:王方 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数  1   2   1   3   3 频率  0.1   0.2   0.1   0.3   0.3 李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数  0   0   6   3   1 频率  0   0   0.6   0.3   0.1 (2)分别求出两人 10 次射箭得分的平均数;(3)从两人成绩的稳定性角度分析,应选派谁参加比赛合适.【分析】(1)根据各组的频数除以 10 即可得到结论;(2)根据加权平均数的定义即可得到结论;(3)根据方差公式即可得到结论.【解答】解:(1)环数 6 7 8 9 10频数 1 2 1 3 3频率 0.1 0.2 0.1 0.3 0.3李明 10 次射箭得分情况 环数 6 7 8 9 10频数 0 0 6 3 1频率 0 0 0.6 0.3 0.1(2)王方的平均数= (6+14+8+27+30)=8.5;李明的平均数= (48+27+10)=8.5;(3)∵S = [(6﹣8.5)2+2(7﹣8.5)2+(8﹣8.5)2+3(9﹣8.5)2+3(10﹣8.5)2]=1.85;S = [6(8﹣8.5)2+3(9﹣8.5)2+(10﹣8.5)2=0.35;∵S >S ,∴应选派李明参加比赛合适.【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.22.(12 分)如图,A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5 等分点,连接 AC、CE、EB、BD、DA,得到一个五角星图形和五边形 MNFGH.(1)计算∠CAD 的度数;(2)连接 AE,证明:AE=ME;(3)求证:ME2=BM•BE.【分析】(1)由题意可得∠COD=70°,由圆周角的定理可得∠CAD=36°;(2)由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°,可求∠AME=∠CAE=72°,可得 AE=ME;(3)通过证明△AEN∽△BEA,可得 ,可得 ME2=BE•NE,通过证明 BM=NE,即可得结论.【解答】解:(1)∵A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5 等分点,∴ 的度数= =72°∴∠COD=70°∵∠COD=2∠CAD∴∠CAD=36°(2)连接 AE∵A、B、C、D、E 是⊙O 上的 5 等分点,∴∴∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°∴∠CAE=72°,且∠AEB=36°∴∠AME=72°∴∠AME=∠CAE∴AE=ME(3)连接 AB∵∴∠ABE=∠DAE,且∠AEB=∠AEB∴△AEN∽△BEA∴∴AE2=BE•NE,且 AE=ME∴ME2=BE•NE∵∴AE=AB,∠CAB=∠CAD=∠DAE=∠BEA=∠ABE=36°∴∠BAD=∠BNA=72°∴BA=BN,且 AE=ME∴BN=ME∴BM=NE∴ME2=BE•NE=BM•BE【点评】本题是圆的综合题,考查了圆的有关知识,相似三角形的性质和判定,证明△AEN∽△BEA 是本题的关键.23.(14 分)如图,在直角坐标系中有 Rt△AOB,O 为坐标原点,OB=1,tan∠ABO=3,将此三角形绕原点 O 顺时针旋转 90°,得到 Rt△COD,二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象刚好经过 A,B,C 三点.(1)求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标;(2)过定点 Q 的直线 l:y=kx﹣k+3 与二次函数图象相交于 M,N 两点.①若 S△PMN=2,求 k 的值;②证明:无论 k 为何值,△PMN 恒为直角三角形;③当直线 l 绕着定点 Q 旋转时,△PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动,直接写出该抛物线的表达式.【分析】(1)求出点 A、B、C 的坐标分别为(0,3)、(﹣1,0)、(3,0),即可求解;(2)①S△PMN= PQ×(x2﹣x1),则 x2﹣x1=4,即可求解;②k1k2= ==﹣1,即可求解;③取 MN 的中点 H,则点 H 是△PMN 外接圆圆心,即可求解.【解答】解:(1)OB=1,tan∠ABO=3,则 OA=3,OC=3,即点 A、B、C 的坐标分别为(0,3)、(﹣1,0)、(3,0),则二次函数表达式为:y=a(x﹣3)(x+1)=a(x2﹣2x﹣3),即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,故函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,点 P(1,4);(2)将二次函数与直线 l 的表达式联立并整理得:x2﹣(2﹣k)x﹣k=0,设点 M、N 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则 x1+x2=2﹣k,x1x2=﹣k,则:y1+y2=k(x1+x2)﹣2k+6=6﹣k2,同理:y1y2=9﹣4k2,①y=kx﹣k+3,当 x=1 时,y=3,即点 Q(1,3),S△PMN=2= PQ×(x2﹣x1),则 x2﹣x1=4,|x2﹣x1|= ,解得:k=±2 ;②点 M、N 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)、点 P(1,4),则直线 PM 表达式中的 k1 值为: ,直线 PN 表达式中的 k2 值为: ,为:k1k2= = =﹣1,故 PM⊥PN,即:△PMN 恒为直角三角形;③取 MN 的中点 H,则点 H 是△PMN 外接圆圆心,设点 H 坐标为(x,y),则 x= =1﹣ k,y= (y1+y2)= (6﹣k2),整理得:y=﹣2x2+4x+1,即:该抛物线的表达式为:y=﹣2x2+4x+1.【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、圆的基本知识等,其中,用韦达定理处理复杂数据,是本题解题的关键. 查看更多

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