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期末试题

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北京景山学校 2019~2020 学年第二学期
八年级数学期末试卷


班级

姓名

学号

成绩



注  意
事  项 1、 请用黑色字迹签字笔答卷,画图用 2B 铅笔.
2、 认真审题,字迹工整,卷面整洁.
3、 本卷共 8 页,共有三道大题,28 道小题.
4、 本卷满分 100 分,考试时间 100 分钟.
一、选择题

1.反比例函数 y  2 的图象分布的象限是
x
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第二象限 B
2.如图, △ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,则cosBAC 的值为 

A. 3
4 B. 2
5 C. 3
5 4
D.
5
                  A C
3. 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的余弦值(  )
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的3倍 D.扩大为原来的9倍
4.如图,平行四边形 ABCD,F 为 BC 的中点,延长 AD 至点 E,使 DE:AD=1:3,连接
EF 交 DC 于点 G,则S△DEG:S△CFG 等于
A. 4:9 B. 2:3 C.9:4 D. 3:2
5.如图所示,在边长为 1 的小正方形网格中,两个三角形是位似图形,则它们的位似中心是
A.点O B.点 P C.点 M D.点N



第 5 题

6.一次函数 y1

 ax  b (a  0) 与反比例函数 y2

 k (k  0) 在同一平面直角坐标系 xOy 中的图象如图所示,当
x

y1   y2 时, x 的取值范围是

A. 1  x  3 B. x  1或0  x  3
C. x  1或 x  3 D. 1  x  0 或 x  3





1)


第 7 题


7.如图,矩形 ABCD 是由三个全等矩形拼成的,AC 与 DE、EF、FG、HG、HB 分别交于点 P、Q、K、M、N,设
△EPQ、△GKM、△BNC 的面积依次为 S1、S2、S3.若 S1+S3=30,则 S2 的值为
A.6 B.8 C.10 D.12
8.在平面直角坐标系 xOy 中,将横纵坐标之积为 1 的点称为“好点”,则函数 y | x | 3 的图象上的“好点”共有
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个




二、填空题
9. 如果,那么锐角α=  °.
10.已知反比例函数的表达式为y=,它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点,则k的取值范
围是             
11 如图,在△ABC 中,点 D,E  分别在边 AB,AC 上,添加一个条件使得△ADE∽△ACB,添加的一个条件是



12.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数 y=   ?   ( k>0 )的图象上,
?

则 y1,y2,y3 的大小关系是

13.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸,则竹竿的长为          尺.  
(1 丈=10 尺,1 尺=10 寸) 
A B
14.如图所示的网格是正方形网格,△ ABC 和△ CDE 的顶点都是网格线交点,那

么∠ BAC  ∠ CDE  °.
C

D E


15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知函数y1=(x>0)和y2=﹣(x<0),点M为y轴正半轴上一点,N为x轴上一点,过M作y轴的垂线分别交y1,y2的图象于A,B两点,连接AN,BN,则△ABN的面积为   .






16.如图,分别过第二象限内的点 P 作 x,y 轴的平行线,与 y,
x 轴分别交于点A,B,与双曲线 y  6 分别交于点 C,D.
x
下面三个结论,

①存在无数个点 P 使S△AOC  S△BOD ; 

②存在无数个点 P 使S△POA  S△POB ; 

③存在无数个点 P 使S四边形OAPB  S△ACD .
所有正确结论的序号是       .


三、解答题 
17.计算 3tan 30  4 cos 45  2sin 60.
4
18.如图,在△ABC 中,∠B=30°,tanC=
3





,AD⊥BC 于点 D.  若 AB=8,求 BC 的长.

19.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,E 是 AD 上一点, 且 BE=BD.
(1)求证:△ABE ∽△ACD ;
(2)若 BD=1,CD=2,求 AE 的值.
AD


20.如图,直线y=ax﹣4(a≠0)与双曲线y=(k≠0)只有一个公共点A(1,﹣2).
(1)求k与a的值;
(2)在(1)的条件下,如果直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=(k≠0)
有两个公共点,直接写出b的取值范围.
21.由于发生山体滑坡灾害,武警救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C 处有生命迹象.在废墟一侧地面上探测点 A 、 B 相距 2 米,探测线与该地面的夹角分别是30 和60 (如图所示),试确定生命所

在点C 的深度.(参考数据:

 1.414 ,

 1.732,结果精确到0.1)


22. 在直角三角形中,除直角外的5 个元素中,已知 2 个元素(其中至少有 1 个是边),就可以求出其余的 3 个未知元素.对于任意三角形,我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢?  思考并解答下列问题:
(1)观察图①~图④,根据图中三角形的已知元素,可以求出其余未知元素的序号是


     37° 60° 
12

C
(2)如图⑤,在△ABC 中,已知A  37°, AB  12 , AC  10 ,能否求出 BC 的
长度?如果能,请求出 BC 的长度;如果不能,请说明理由. A B
(参考数据: sin 37° 0.60 , cos 37° 0.80 , tan 37° 0.75 )

23.在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 y  k (x  0) 的图象和△ABC 都在第一象限内,AB  AC     5 ,BC  / / x 轴,
x 2
且 BC  4 ,点 A 的坐标为(3,5) .
(1)若反比例函数 y  k (x  0) 的图象经过点 B,求此反比例函数的解析式;
x
(2)若将△ABC 向下平移m (m>0)个单位长度, A ,C 两点的对应点同时落在反比例函数图象上,求m 的值.

24.阅读下面材料:
学习函数知识后,对于一些特殊的不等式,我们可以借助函数图象来求出它的解集, 例如求不等式

x  3  4 的解集,我们可以在同一坐标系中,画出直线  y =x-3 与函数 y2    4 的图象(如图 1),观察图象

x x

可知:它们交于点 A(-1,-4),B(4,1).当-1<x<0,或 x>4 时,y >y ,即不等式 x  3  4 的解集为-

1 2


1<x<0,或 x>4.

















小东根据学习以上知识的经验,对求不等式 x3  3x2  x  3  0 的解集进行了探究. 下面是小东的探究过程,请补充完整: 
(1)将不等式按条件进行转化 
当 x=0 时,原不等式不成立; 

当 x>0 时,原不等式转化为 x2  3x 1  3 ; 
x

当 x<0 时,原不等式转化为 ; 
(2)构造函数,画出图象 


设 y3

 x2  3x 1, y

 3 ,在同一坐标系(图 2)中分别画出这两个函数的图象. 
x


(3)借助图象,写出解集 
观察所画两个函数的图象, 确定两个函数图象交点的横坐标, 结合(1) 的讨论结果,可知: 不等式

x3   3x2   x  3  0 的 解 集 为                    . 

25.阅读下面材料:
小 军 遇 到 这 样 一 个 问 题 : 如 图   1 , 在 △ A B C   中 , A B = A C , P   是 △ A B C  内 一 点 , 
∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°,AP=1,求 BP 的长. 







小军的思路是:根据已知条件可以证明△ACP∽△CBP,进一步推理可得 BP 的长.
请回答:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠PCB=∠PBA,
∴∠PCA= .
∵∠PAC=∠PCB,
∴△ACP∽△CBP.

∵∠ACB=45°,
∴∠BAC=90°.
∴ AC = .
CB
∵AP=1,
∴PC= .
∴PB= .
参考小军的思路,解决问题:
如图 2,在△ABC 中,AB=AC,P 是△ABC 内一点,∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°,求 AP 的值;
BP

26.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,2),正方形 OABC 的顶点 B 在函数 y   k (k ≠ 0,x<0> x
象上,直线l  : y  x  b 与函数 y  k (k ≠ 0,x<0> x
(1)求 k 的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①当一次函数 y  x  b 的图象经过点 A 时,直接写出△DCE 内的整点的坐标;
②若△DCE 内的整点个数恰有 6 个,结合图象,直接写出 b 的取值范围.

y


B A


C O x



27.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点(0<AD<AB).过点B作BE⊥CD,垂足为E.将线段CE绕点C逆时针旋转90°,得到线段CF,连接AF,EF.设∠BCE的度数为α.

(1)①依题意补全图形.
②若α=60°,则∠CAF=  °;=  ;
(2)用含α的式子表示EF与AB之间的数量关系,并证明.

































 


28.在初中,我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数,即在图1所示的直角三角形ABC,∠A是锐角,那么
sinA=,cosA=,tanA=,cotA=

为了研究需要,我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义:
设有一个角α,我们以它的顶点作为原点,以它的始边作为x轴的正半轴ox,建立直角坐标系(图2),在角α的终边上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为(r总是正的),然后把角α的三角函数规定为:
sinα=,cosα=,tanα=,cotα=
我们知道,图1的四个比值的大小与角A的大小有关,而与直角三角形的大小无关,同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关,而与点P在角α的终边位置无关.
比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的,根据第二种定义回答下列问题,
(1)若270°<α<360°,则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα,其中取正值的是 cosα ;
(2)若角α的终边与直线y=2x重合,则sinα+cosα=  ;
(3)若角α是钝角,其终边上一点P(x,),且cosα=,则tanα  ;
(4)若0°≤α≤90°,则sinα+cosα的取值范围是  .

 
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