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【真题】2018年天津市高考数学(文科)试题(含答案和解释)

(编辑:佚名 日期:2018-6-13)
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(文史类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
•如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B).                     
•棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.
•棱锥的体积公式 ,其中 表示棱锥的底面积,h表示棱锥的高.
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 , , ,则
A.      B. 
C.      D. 
【答案】C
【解析】分析:由题意首先进行并集运算,然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解:由并集的定义可得: ,
结合交集的定义可知: .
本题选择C选项.
点睛:本题主要考查并集运算、交集运算等知识,意在考查学生的计算求解能力.
2. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A. 6    B. 19
C. 21    D. 45
【答案】C
【解析】分析:由题意首先画出可行域,然后结合目标函数的解析式整理计算即可求得最终结果.
详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
联立直线方程: ,可得点A的坐标为: ,
据此可知目标函数的最大值为: .
本题选择C选项.
 
 
3. 设 ,则“ ”是“ ” 的
A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件
C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析:求解三次不等式和绝对值不等式,据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解:求解不等式 可得 ,
求解绝对值不等式 可得 或 ,
据此可知:“ ”是“ ” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 的值为20,则输出 的值为
 
A. 1    B. 2    C. 3    D. 4
【答案】B
【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解:结合流程图运行程序如下:
首先初始化数据: ,
 ,结果为整数,执行 , ,此时不满足 ;
 ,结果不为整数,执行 ,此时不满足 ;
 ,结果为整数,执行 , ,此时满足 ;
跳出循环,输出 .
本题选择B选项.
点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.
(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.
(3)按照题目的要求完成解答并验证.
5. 已知 ,则 的大小关系为
A.      B.      C.      D. 
【答案】D
【解析】分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
详解:由题意可知: ,即 ,
 ,即 ,
 ,即 ,
综上可得: .
本题选择D选项.
点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间  上单调递增    B. 在区间  上单调递减
C. 在区间  上单调递增    D. 在区间  上单调递减
【答案】A
【解析】分析:首先确定平移之后的对应函数的解析式,然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.
详解:由函数 图象平移变换的性质可知:
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为:
 .
则函数的单调递增区间满足: ,
即 ,
令 可得函数的一个单调递增区间为 ,选项A正确,B错误;
函数的单调递减区间满足: ,
即 ,
令 可得函数的一个单调递减区间为 ,选项C,D错误;
本题选择A选项.
点睛:本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 已知双曲线  的离心率为2,过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ,且  则双曲线的方程为
A.      B. 
C.      D. 
【答案】A
【解析】分析:由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解:设双曲线的右焦点坐标为 (c>0),则 ,
由 可得: ,
不妨设: ,双曲线的一条渐近线方程为 ,
据此可得: , ,
则 ,则 ,
双曲线的离心率: ,
据此可得: ,则双曲线的方程为 .
本题选择A选项.
点睛:求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ,再由条件求出λ的值即可.
8. 在如图的平面图形中,已知 , 则 的值为
 
A.      B. 
C.      D. 0
【答案】C
【解析】分析:连结MN,结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解:如图所示,连结MN,
由  可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点,
则 ,
由题意可知:
 , ,
结合数量积的运算法则可得:
 .
本题选择C选项.
 
点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. i是虚数单位,复数 ___________.
【答案】4–i   
【解析】分析:由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解:由复数的运算法则得: .
点睛:本题主要考查复数的运算法则及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 已知函数f(x)=exlnx, 为f(x)的导函数,则 的值为__________.
【答案】e
【解析】分析:首先求导函数,然后结合导函数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解:由函数的解析式可得: ,
则: .即 的值为e.
点睛:本题主要考查导数的运算法则,基本初等函数的导数公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11. 如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________.
 
【答案】
【解析】分析:由题意分别求得底面积和高,然后求解其体积即可.
详解:如图所示,连结 ,交 于点 ,很明显 平面 ,
则 是四棱锥的高,且 ,
 ,
结合四棱锥体积公式可得其体积为: .
 
点睛:本题主要考查棱锥体积的计算,空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为__________.
【答案】
【解析】分析:由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解:设圆的方程为 ,
圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则:
 ,解得: ,
则圆的方程为 .
点睛:求圆的方程,主要有两种方法:
(1)几何法:具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理.如:①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;②圆心在任意弦的中垂线上;③两圆相切时,切点与两圆心三点共线.
(2)待定系数法:根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量.一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式.不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式.
13. 已知a,b∈R,且a–3b+6=0,则2a+ 的最小值为__________.
【答案】
【解析】分析:由题意首先求得a-3b的值,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果,注意等号成立的条件.
详解:由 可知 ,
且: ,因为对于任意x, 恒成立,
结合均值不等式的结论可得: .
当且仅当 ,即 时等号成立.
综上可得 的最小值为 .
点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.
14. 已知a∈R,函数 若对任意x∈[–3,+ ),f(x)≤ 恒成立,则a的取值范围是__________.
【答案】[ ,2]
【解析】分析:由题意分类讨论 和 两种情况,结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
详解:分类讨论:①当 时, 即: ,
整理可得: ,
由恒成立的条件可知: ,
结合二次函数的性质可知:
当 时, ,则 ;
②当 时, 即: ,整理可得: ,
由恒成立的条件可知: ,
结合二次函数的性质可知:
当 或 时, ,则 ;
综合①②可得 的取值范围是 .
点睛:对于恒成立问题,常用到以下两个结论:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(Ⅱ)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
【答案】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人;(Ⅱ)(i)答案见解析;(ii) .
【解析】分析:(Ⅰ)结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)由题意列出所有可能的结果即可,共有21种.
(ii)由题意结合(i)中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P(M)= .
详解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
(ii)由(Ⅰ),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率为P(M)= .
点睛:本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B– ).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A–B)的值.
【答案】(Ⅰ)B= ;(Ⅱ)b= , 
【解析】分析:(Ⅰ)由正弦定理有 ,结合 ,可得 .则B= .
(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理可得b= .则 . .结合两角差的正弦公式可得 
详解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理 ,可得 ,又由 ,得 ,即 ,可得 .又因为 ,可得B= .
(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B= ,有 ,故b= .
由 ,可得 .因为a<c,故 .因此 ,
所以,  
点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
17. 如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD= ,∠BAD=90°.
(Ⅰ)求证:AD⊥BC;
(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.
 
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
【解析】分析:(Ⅰ)由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC.
(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.由几何关系可知∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.计算可得 .则异面直线BC与MD所成角的余弦值为 .
(Ⅲ)连接CM.由题意可知CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得 .即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .
详解:(Ⅰ)由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
 
在Rt△DAM中,AM=1,故DM= .因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.
在Rt△DAN中,AN=1,故DN= .
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得 .
所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为 .
(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM= .又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM 平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.
在Rt△CAD中,CD= =4.
在Rt△CMD中, .
所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .
点睛:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18. 设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(Ⅰ)求Sn和Tn;
(Ⅱ)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
【答案】(Ⅰ) , ;(Ⅱ)4.
【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得 ,则 .结合题意可得等差数列的首项和公差为 ,则其前n项和 .
(II)由(I),知  据此可得  解得 (舍),或 .则n的值为4.
详解:(I)设等比数列 的公比为q,由b1=1,b3=b2+2,可得 .
因为 ,可得 ,故 .所以, .
设等差数列 的公差为 .由 ,可得 .由 ,可得 从而 ,故 ,所以, .
(II)由(I),有
由 可得 ,
整理得 解得 (舍),或 .所以n的值为4.
点睛:本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.
19. 设椭圆  的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为 , .
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线 与椭圆交于 两点, 与直线 交于点M,且点P,M均在第四象限.若 的面积是 面积的2倍,求k的值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】分析:(I)由题意结合几何关系可求得 .则椭圆的方程为 .
(II)设点P的坐标为 ,点M的坐标为  ,由题意可得 .
易知直线 的方程为 ,由方程组 可得 .由方程组 可得 .结合 ,可得 ,或 .经检验 的值为 .
详解:(I)设椭圆的焦距为2c,由已知得 ,又由 ,可得 .由 ,从而 .
所以,椭圆的方程为 .
(II)设点P的坐标为 ,点M的坐标为 ,由题意, ,
点 的坐标为 .由 的面积是 面积的2倍,可得 ,
从而 ,即 .
 
当 时, ,不合题意,舍去;当 时, , ,符合题意.
所以, 的值为 .
点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.
20. 设函数 ,其中 ,且 是公差为 的等差数列.
(I)若  求曲线 在点 处的切线方程;
(II)若 ,求 的极值;
(III)若曲线  与直线     有三个互异的公共点,求d的取值范围.
【答案】(Ⅰ)x+y=0;(Ⅱ)极大值为6 ;极小值为−6 ;(Ⅲ) 
【解析】分析:(Ⅰ)由题意可得f(x)=x3−x, =3x2−1,结合f(0)=0, =−1,可得切线方程为x+y=0.
(Ⅱ)由已知可得:f(x)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t23+9t2.则 = 3x2−6t2x+3t22−9.令 =0,解得x= t2− ,或x= t2+ .据此可得函数f(x)的极大值为f(t2− )=6 ;函数极小值为f(t2+ )=−6 .
(III)原问题等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 6 =0有三个互异的实数解,令u= x−t2,可得u3+(1−d2)u+6 =0.设函数g(x)= x3+(1−d2)x+6 ,则y=g(x)有三个零点.利用导函数研究g(x)的性质可得 的取值范围是 
详解:(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x3−x,故 =3x2−1,因此f(0)=0, =−1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)= (x−0),故所求切线方程为x+y=0.
(Ⅱ)由已知可得
f(x)=(x−t2+3)(x−t2)(x−t2−3)=(x−t2)3−9(x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x−t23+9t2.
故 =3x2−6t2x+3t22−9.令 =0,解得x=t2− ,或x=t2+ .
当x变化时, ,f(x)的变化如下表:
x (−∞,t2− ) t2−  (t2− ,t2+ ) t2+  (t2+ ,+∞)
  + 0 − 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数f(x)的极大值为f(t2− )=(− )3−9×(− )=6 ;函数f(x)的极小值为f(t2+ )=( )3−9×( )=−6 .
(Ⅲ)曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6 有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d)(x−t2)(x−t2−d)+(x−t2)+ 6 =0有三个互异的实数解,令u=x−t2,可得u3+(1−d2)u+6 =0.
设函数g(x)=x3+(1−d2)x+6 ,则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−6 有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.
 =3x3+(1−d2).
当d2≤1时, ≥0,这时 在R上单调递增,不合题意.
当d2>1时, =0,解得x1= ,x2= .
易得,g(x)在(−∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
g(x)的极大值g(x1)=g( )= >0.
g(x)的极小值g(x2)=g( )=− .
若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.
若 即 ,也就是 ,此时 , 且 ,从而由 的单调性,可知函数 在区间 内各有一个零点,符合题意.
所以, 的取值范围是 .
点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具,而函数是高中数学中重要的知识点,所以在历届高考中,对导数的应用的考查都非常突出 ,本专题在高考中的命题方向及命题角度  从高考来看,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行: (1)考查导数的几何意义,往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值),解决生活中的优化问题. (4)考查数形结合思想的应用.
 



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